NIVEL:
6to. DE SECUNDARIA
LA ELIPSE
DEFINICIÓN
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P del plano cuya
suma de distancias a dos puntos fijos, F1 y F2, llamados
focos es una constante positiva. Es decir:
Cuando un cono circular recto es seccionado por un plano oblicuo al eje y forma con este eje un ángulo mayor que el ángulo formado por la generatriz con el eje, los puntos pertenecientes igualmente al plano y al cono forman una elipse.
PROPIEDADES DE LA ELIPSE
ECUACIONES DE LA ELIPSE
a) CANÓNICA
b) ORDINARIA
c) GENERAL
Cuando un cono circular recto es seccionado por un plano oblicuo al eje y forma con este eje un ángulo mayor que el ángulo formado por la generatriz con el eje, los puntos pertenecientes igualmente al plano y al cono forman una elipse.
ELIPSES EN NUESTRO ALREDEDOR
PROPIEDADES DE LA ELIPSE
Veamos la propiedad fundamental de una elipse.
Para ello, marca dos puntos en un plano, separados por ejemplo 4
centímetros. Los llamaremos los focos de la elipse. Escoge ahora un número
mayor que 4, pongamos 10. La figura que resulta de marcar todos los puntos
cuyas distancias a los focos suman 10 es una Elipse.
ELEMENTOS
DE LA ELIPSE
Focos. Son los
puntos fijos F1 y F2.
Eje
focal. Es la recta que pasa por
los focos.
Eje
secundario. Es la mediatriz del segmento F1F2.
Centro. Es el punto de intersección de los ejes.
Radios
vectores. Son los segmentos que van desde un punto de la
elipse a los focos: PF1 y PF2.
Distancia
focal. Es el segmento F1F2 de
longitud 2c, c es el valor de la semi distancia focal.
Vértices. Son los puntos de intersección de la elipse con los
ejes: V1, V2, B1, B2.
Eje
mayor. Es el segmento V1V2 de
longitud 2a, a es el valor del semieje mayor.
Eje
menor. Es el segmento B1B2 de
longitud 2b, b es el valor del semieje menor.
Ejes
de simetría. Son las rectas que
contienen al eje mayor o al eje menor.
Centro
de simetría. Coincide con el centro de
la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría.
ECUACIONES DE LA ELIPSE
a) CANÓNICA
b) ORDINARIA
c) GENERAL
ECUACIÓN
CANÓNICA DE LA ELIPSE
Si en la ecuación de la elipse el denominador de x2 es mayor
que el denominador de y2, entonces el eje focal coincide con el eje
X. En caso contrario, el eje focal coincide con el eje Y.
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE
ECUACIÓN
GENERAL DE LA ELIPSE
Partiendo de la ecuación anterior y realizando un proceso similar al
realizado para obtener la ecuación general de la circunferencia, se llega a la
ecuación general de la elipse, donde los coeficientes A y B deben tener el
mismo signo.
EJERCICIOS
PROPUESTOS
1. Halla el centro y los focos de la elipse de
ecuación:
2. Reduce la ecuación x2 + 4y2 –
6x + 16y + 21= 0 a la forma ordinaria de una elipse y determina las coordenadas
del centro, vértices, focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la
cuerda focal y la excentricidad.
3. Determina la ecuación de la elipse con centro en el
origen, focos en los puntos (0; -3) y (0; 3) y eje mayor igual a 10 u.
4. Halla la ecuación de la elipse de excentricidad 2/3
y cuyos focos son los puntos (-2; 6) y (8; 6).
5. Determina la ecuación de la elipse cuyo centro de
gravedad está en el origen e coordenadas, el eje mayor a lo largo del eje X, el
lado recto es igual a 6 y el valor de la excentricidad es 1/2.
6. Halla la ecuación de la elipse cuya longitud de la
cuerda normal (lado recto) es 5 y sus vértices los puntos (-10;0) y (10; 0).
7. Las distancias de un punto P de una elipse a sus
focos F1 y F2 son 6 y 8 cm. Calcula e, si m < F1 P
F2 = 90º
8. En la elipse 4x2 + 9y2 = 36.
El área del triángulo formado por un lado recto y los segmentos que unen los
extremos con el centro de la elipse es:
9. Halla la ecuación de la elipse que tiene por centro
el punto (2; 4), la distancia del centro a los focos es 3, su excentricidad 1/3
y la elipse es de eje vertical.
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